兩種方法都會給出相同的答案。
到了19世紀，數學家嘗試推廣笛卡爾的方法。
他們從一些代數方程入手，把這些方程的解定義為“幾何”對象。
以這種方式從代數方程產生的對象，就被稱為“代數簇”。
因此，代數簇是幾何圖像的一種推廣。
任何一個幾何對應都是一個代數簇，但是有許多代數簇是不可能被直觀化的。
然而，并不因為某個特定的代數簇不可能被直觀化，你就不能對它做（代數）幾何。
你能做，只不過這是沒有圖形的幾何。
之后，數學家很快發現更復雜的方程，或者甚至方程組都在一起工作，可以在各種維度產生驚人的形狀。
數學家為了得到更加復雜的形狀，發現了一個非常實用的方法，基本想法是在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。
這種技巧非常好用，使得它可以用許多不同的方式來推廣。
數學家希望通過這種方法，用各種不同類型的方式一步一步地擴展，最終建立一組強有力的代數方程或／和幾何工具，使各種復雜的對象分類成一些具體的簡單的幾何對象及其組合。
這使得數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。
不幸的是，在這一推廣中，幾何出發點變得模糊起來。
到底應該從哪些簡單幾何對象組合起？
組合的程序／序列又是什么？
因此，必須加上一些沒有任何幾何解釋的＂非幾何＂基本模塊。
正是基于這樣的困境，1958年，英國數學家，第13次國際數學大會的主席霍奇教授提出：對于射影代數簇空間，在非奇異復射影代數簇上，任何一個霍奇類都可以表達為代數閉鏈類的有理線性（幾何部件的）組合。
這句話用一個通俗的數學語言表述，就是：
設x是一個射影代數流形，p是一個正整數。再設H^2p(X，Q)afg?(X，Q)是代數上閉鏈的子空間，即由X中余維數p為的代數子簇的基本類所生成的Q向量空間。霍奇猜想斷言，可以用霍奇理論來“計算”子空間H^2p(X，Q)afg，具體地說，H^2p(X，Q)afg=H^p，p∩H^2p(X，Q)。
這里面，所謂的“非奇異射影代數簇”，指代的就是由一個代數方程的解所生成的光滑的多維物體的“表面”。
……
在現實世界的時候，佩雷爾曼曾經和龐學林聊過，他在龐氏幾何的研究中，找到了證明霍奇猜想的靈感。
在這之后，佩雷爾曼便進入了閉關狀態，龐學林也不知道他的研究進度到底到哪一步了。
但是，從直覺上來說，龐學林覺得，龐氏幾何理論，與霍奇猜想絕對存在著不可分割的密切關系。
因此，這半年時間，龐學林并沒有將注意力放在霍奇猜想本身上，而是一直在尋找龐氏幾何與代數幾何、分析學以及拓撲學之間的某些內在聯系。
這種工作非常枯燥，需要考慮思考某些涉及數學本質的東西。
雖然半年的時間，遠遠沒有到能夠解決霍奇猜想的地步。
但是對于分析學以及拓撲學的研究，卻讓龐學林對于龐氏幾何理論又有了更加深入的理解。