“整體微分幾何的核心問題之一是研究局部不變量和整體不變量的關系，研究曲率和拓撲的關系。
我們來考察曲面S，它上面有度量，也就有Gauss曲率K，如果曲面是緊致無邊的話，Gauss曲率K就可以在整個曲面上進行積分。一個曲面不一定只容有一個度量，可以有另外一個度量，換了度量以后，相應的Gauss曲率K也就變了，但積分值與曲面的度量無關，而只與曲面的Euler不性數x(*5)有關。
這就是Gauss-Bo公式所揭示的深刻內涵。
對高維黎曼流形M，Gauss曲率可以推廣為截面曲率，它由黎曼曲率張量所決定，被積函數是由曲率張量組成的很復雜的代數式子，稱為Gauss-Bo被積函數，它在整個流形上的積分，應該由這個流形的Euler示性數所決定。它的內蘊證明是陳省身得到的，后來就稱為Gauss_Bo-陳公式。
對緊致無邊的偶數維流形M2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的Euler示性數滿足
(-l)nX(M2n)0(1)(當截面曲率為負時，上式為嚴格不等式)。
這就是著名的Hopf猜想。
迄今，Hopf猜想僅在一些附加條件下得到驗證，如截面曲率夾在兩個負常數間有工作：Bnon-KarcherPl，Donnelly-Xavier以及Jost-Xin間。
Borel對非緊型秩1對稱空間證實了猜想。
如果，流形具有KShler度量，在負截面曲率情形，猜想已被Grov所證實，在非正截面曲率情形則被Jost-Zuc以及Cao-Xavier所證實。”
……
“第三個問題，卡普蘭斯基第六猜想。”
“卡普蘭斯基第六猜想是卡普蘭斯基在1975年提出的關于霍普夫代數的十個猜想之一，也是目前霍普夫代數乃至代數學領域研究的前沿問題之一。霍普夫代數起源于二十世紀四十年代，主要是由霍普夫對Lie群的拓撲性質的公理性研究而建立的一種代數系統。
二十世紀六十年代，Hochschild-Mostow在研究Lie群的應用及后續研究中，發展和豐富了霍普夫的這一代數系統的理論，奠定了霍普夫代數理論的基本框架。
二十世紀八十年代，隨著Drinfeld和Jimbo等數學家建立的量子群理論的興起，人們發現量子群是一類特殊的霍普夫代數。量子群理論與眾多其他數學領域，如低維拓撲、表示論以及非交換幾何以及統計力學精確可解模型理論、二維共形場論、角動量量子理論等有著緊密的聯系。
量子群理論的興起也促進了霍普夫代數理論的迅猛發展，圍繞卡普蘭斯基的十個猜想取得了許多精彩的研究成果，導致其中若干猜想的解決或部分解決。
卡普蘭斯基第六猜想設H是代數閉域上的有限維半單霍普夫代數，則H的任一不可約表示的維數整除H的維數.
這一猜想與有限維半單霍普夫代數的分類緊密相關，吸引了眾多代數學家的興趣。
Zhu在1993年利用特征標理論研究了卡普蘭斯基第六和第八猜想，得到了部分結果。
他證明了：若char⑷=0，H半單且R(H)在H的對偶代數的中心中，其中R(H)為H的不可約特征標所張成的JI*的子代數，則卡普蘭第六猜想成立。
Nichols和Rid在1996年通過分析H的格羅滕迪克群的環結構證明:若H是余半單的且有一個2-維單余模，則H是偶數維的。
1998年，Etingof和Geki在研究擬三角半單余半單霍普夫代數的結構和提升問題時證明W:若丑是半單余半單Hopf代數，D{H)是H的Drinfelddouble，則D(H)的不可約表示的維數整除H的維數。
由此他們證明：如果H是擬三角的半單余半單霍普夫代數，則H的不可約表示的維數整除的。”